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    小學奧數等差數列三個公式+三道例題+附加題

    2018-09-06 09:34:44  來源: 小升初網     閱讀次數:
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    應某家長要求,再講一次等差數列

    240.jpg

    公式1:求和公式:等差數列求和=(首項+末項)×項數÷2,即:Sn=(a1+an)×n÷2;

    公式2:通項公式:第n項=首項+(n-1)×公差,即:an=a1+(n-1)×d;

    公式3:項數公式:項數=(末項-首項)÷公差+1,即n=(an-a1)÷d+1。

    上述三個公式必須掌握

    此外,還有一個中項定理,也最好掌握:

    中項定理:對于作意一個項數為奇數的等差數列來說,中間一項的值等于所有項的平均數,也等于首項與末項和的一半;或者換句話說,各項和等于中間項乘以項數。

    例1:建筑工地有一批磚,碼成如右圖形狀,最上層兩塊磚,第2層6塊磚,第3層10塊磚…,依次每層都比其上面一層多4塊磚,已知最下層2106塊磚,問中間一層多少塊磚?這堆磚共有多少塊?

    解:如果我們把每層磚的塊數依次記下來,2,6,10,14,… 容易知道,這是一個等差數列.

    方法1:

    a1=2, d=4, 利用公式求出an=2106,

    則:n=(an-a1)÷d+1=527

    這堆磚共有則中間一項為 a264=a1+(264-1)×4=1054.

    方法2:(a1+an)×n÷2=(2+2106)×527÷2=555458(塊).

    則中間一項為(a1+an)÷2=1054

    a1=2, d=4, an=2106,

    這堆磚共有 1054×527=555458(塊).

    此題利用中項定理和等差數列公式均可解!

    例2:求從1到2000的自然數中,所有偶數之和與所有奇數之和的差.

    解:根據題意可列出算式:

    (2+4+6+8+…+2000)-(1+3+5+…+1999)

    解法1:可以看出,2,4,6,…,2000是一個公差為2的等差數列,1,3,5,…,1999也是一個公差為2的等差數列,且項數均為1000,所以:

    原式=(2+2000)×1000÷2-(1+1999)×1000÷2

    =1000.

    解法2:注意到這兩個等差數列的項數相等,公差相等,且對應項差1,所以1000項就差了1000個1,即

    原式=1000×1=1000.

    例3:100個連續自然數(按從小到大的順序排列)的和是8450,取出其中第1個,第3個…第99個,再把剩下的50個數相加,得多少?

    解:

    方法1:要求和,我們可以先把這50個數算出來.

    100個連續自然數構成等差數列,且和為8450,則:

    由題可知:( 首項+末項)×100÷2=8450,求出:( 首項+末項)=169。

    又因為末項比首項大99,所以,末項=首項+99,根據 (首項+末項)=169得到:

    首項+末項+99=169,解出:首項=35.

    因此,剩下的50個數為:36,38,40,42,44,46…134.這些數構成等差數列,和為(36+134)×50÷2=4250.

    方法2:我們考慮這100個自然數分成的兩個數列,這兩個數列有相同的公差,相同的項數,且剩下的數組成的數列比取走的數組成的數列的相應項總大1,因此,剩下的數的總和比取走的數的總和大50,又因為它們相加的和為8450.所以:

    剩下的數總和+取走的數的總和=8450;

    剩下的數總和-取走的數的總和=50。

    求出:剩下的數的總和為(8450+50)÷2=4250.

    (利用兩數和已知,兩數差已知,求兩數)

    附加題:x+y+z=1993有多少組正整數解.

    朋友們,此題留給大家解一下,答案見最下面。

    239.jpg

    答案:l+2+3+…+1991=1983036

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